केवल $0$ या $1$ अवयवों वाले $2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक का मान धनात्मक होने की प्रायिकता क्या है?

$3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,यदि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ के सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $p, q, r$ तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जो $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \\ -3 & q & -p+r \\ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ को संतुष्ट करती हैं,तो $(b+c)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $M$ और $N$ दो $3 \times 3$ आव्यूह हैं जैसे कि $MN = NM$। इसके अलावा,यदि $M \neq N^2$ और $M^2 = N^4$ है,तो:
$(A)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है
$(B)$ एक $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है
$(C)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $\geq 1$ है
$(D)$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $U$ के लिए,यदि $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ शून्य आव्यूह है

यदि $P$ और $Q$ समान कोटि के दो शून्येतर वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि उनका गुणनफल $PQ = 0$ है,तो ........

मान लीजिए $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,जहाँ $\alpha = \alpha(\theta)$ और $\beta = \beta(\theta)$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। यदि $\alpha^*$ समुच्चय $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है और $\beta^*$ समुच्चय $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है,तो $\alpha^* + \beta^*$ का मान ज्ञात कीजिए।