मान लीजिए M=begin{bmatrix} sin^4 theta & -1-s | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $M = \alpha I + \beta M^{-1}$। $M$ से गुणा करने पर,हमें $M^2 = \alpha M + \beta I$ प्राप्त होता है,या $M^2 - \alpha M - \beta I = O$।

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{29}{16}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $M = \alpha I + \beta M^{-1}$। $M$ से गुणा करने पर,हमें $M^2 = \alpha M + \beta I$ प्राप्त होता है,या $M^2 - \alpha M - \beta I = O$। कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$M^2 - 	ext{tr}(M)M + \det(M)I = O$। गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = 	ext{tr}(M) = \sin^4 	heta + \cos^4 	heta = (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)^2 - 2\sin^2 	heta \cos^2 	heta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2	heta)$। चूंकि $\sin^2(2	heta) \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $\alpha^* = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है। साथ ही,$-\beta = \det(M) = \sin^4 	heta \cos^4 	heta + (1+\cos^2 	heta)(1+\sin^2 	heta) = \frac{\sin^4(2	heta)}{16} + 1 + \sin^2 	heta + \cos^2 	heta + \sin^2 	heta \cos^2 	heta = \frac{\sin^4(2	heta)}{16} + 2 + \frac{\sin^2(2	heta)}{4}$। मान लीजिए $t = \sin^2(2	heta) \in [0, 1]$। तो $-\beta(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$। $\beta$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $-\beta$ का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं। चूँकि $f(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक वर्धमान फलन है,इसलिए इसका अधिकतम मान $t=1$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{32}{16} = \frac{37}{16}$ है। अतः,$\beta^* = -\frac{37}{16}$। इसलिए,$\alpha^* + \beta^* = \frac{1}{2} - \frac{37}{16} = \frac{8-37}{16} = -\frac{29}{16}$।

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