એક વિધેય y=f(x) એ f(x) sin 2x + sin x - (1 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ છે.$(1 + \cos^2 x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ છે.$(1 + \cos^2 x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ છે.ધારો કે $u = 1 + \cos^2 x$,તો $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ થાય.તેથી,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ મળે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$.$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ મુકતા,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$.આમ,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ મળે.$x = \frac{\pi}{2}$ મુકતા,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$.

એક વિધેય $y=f(x)$ એ $f(x) \sin 2x + \sin x - (1 + \cos^2 x) f'(x) = 0$ શરત $f(0) = 0$ સાથે સંતોષે છે. તો $f(\frac{\pi}{2})$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ નો ઉકેલ શોધો.

પ્રથમ ક્રમના વિકલ સમીકરણ $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ એ $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \geq 3$. તો $12f(8)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module