ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય f એ f(x) + int_{3}^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz નિયમ મુજબ):$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\fra

Vedclass · Accepted Answer

$17$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz નિયમ મુજબ):$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ થશે.બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(x f(x)) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $x f(x) = \int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} dx$.ધારો કે $t = \sqrt{x+1}$,તો $t^2 = x+1$,તેથી $x = t^2-1$ અને $dx = 2t dt$.$x f(x) = \int \frac{t^2-1}{2t} (2t dt) = \int (t^2-1) dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.$t = \sqrt{x+1}$ પાછું મૂકતા: $x f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{x+1} + C$.$x=3$ માટે,મૂળ સમીકરણ પરથી $f(3) + 0 = \sqrt{3+1} = 2$,તેથી $f(3) = 2$.$x=3$ ને $x f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(2) = \frac{4^{3/2}}{3} - \sqrt{4} + C \Rightarrow 6 = \frac{8}{3} - 2 + C \Rightarrow C = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.આમ,$f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3x} - \frac{\sqrt{x+1}}{x} + \frac{16}{3x}$.$x=8$ માટે: $f(8) = \frac{9^{3/2}}{3(8)} - \frac{\sqrt{9}}{8} + \frac{16}{3(8)} = \frac{27}{24} - \frac{3}{8} + \frac{16}{24} = \frac{27 - 9 + 16}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$.તેથી,$12 f(8) = 17$.

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ એ $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \geq 3$. તો $12f(8)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો

નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે?

આપેલ શરત સંતોષતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ ત્યારે $y = 2$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module