मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन f समीकरण f(x) + i | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$यह एक रैखिक अवकल सम

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(C) दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ होगा।दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(x f(x)) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x f(x) = \int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} dx$.मान लीजिए $t = \sqrt{x+1}$,तो $t^2 = x+1$,इसलिए $x = t^2-1$ और $dx = 2t dt$.$x f(x) = \int \frac{t^2-1}{2t} (2t dt) = \int (t^2-1) dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.$t = \sqrt{x+1}$ वापस रखने पर: $x f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{x+1} + C$.$x=3$ के लिए,मूल समीकरण से $f(3) + 0 = \sqrt{3+1} = 2$,इसलिए $f(3) = 2$.$x=3$ को $x f(x)$ के समीकरण में रखने पर: $3(2) = \frac{4^{3/2}}{3} - \sqrt{4} + C \Rightarrow 6 = \frac{8}{3} - 2 + C \Rightarrow C = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.अतः,$f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3x} - \frac{\sqrt{x+1}}{x} + \frac{16}{3x}$.$x=8$ के लिए: $f(8) = \frac{9^{3/2}}{3(8)} - \frac{\sqrt{9}}{8} + \frac{16}{3(8)} = \frac{27}{24} - \frac{3}{8} + \frac{16}{24} = \frac{27 - 9 + 16}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$.इसलिए,$12 f(8) = 17$.

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \geq 3$ है। तो $12f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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