$2M$ द्रव्यमान और $6R$ त्रिज्या वाला एक अर्धगोलाकार कवच और $M$ द्रव्यमान का एक बिंदु द्रव्यमान अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण वृत्ताकार गति कर रहे हैं। गति के दौरान किसी भी क्षण उनकी स्थिति चित्र में दिखाई गई है। यदि $r_1$ और $r_2$ क्रमशः अर्धगोलाकार कवच और बिंदु द्रव्यमान के वृत्ताकार पथ की त्रिज्याएँ हैं और $\omega_1$ और $\omega_2$ क्रमशः अर्धगोलाकार कवच और बिंदु द्रव्यमान की कोणीय गति हैं,तो सही विकल्प चुनें।

एक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा ग्रह पर किया गया कार्य:
$(i)$ गति के किसी भी भाग में शून्य नहीं है।
(ii) कक्षा के कुछ भागों में शून्य है।
(iii) एक पूर्ण परिक्रमण में शून्य है।
(iv) कक्षा के किसी भी छोटे भाग में शून्य है।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

एक रॉकेट को मंगल की सतह से $2 \; km/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर रूप से छोड़ा जाता है। यदि मंगल के वायुमंडलीय प्रतिरोध के कारण इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $20 \%$ नष्ट हो जाता है,तो रॉकेट वापस लौटने से पहले मंगल की सतह से कितनी दूर जाएगा? (मंगल का द्रव्यमान $= 6.4 \times 10^{23} \; kg$,मंगल की त्रिज्या $= 3395 \; km$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$)

$(a)$ पृथ्वी को $6400 \, km$ त्रिज्या का एक गोला माना जा सकता है। पृथ्वी के घूर्णन (आवर्तकाल $1 \, \text{दिन}$) के कारण कोई भी वस्तु (या व्यक्ति) पृथ्वी की धुरी के चारों ओर वृत्तीय गति कर रही है। पृथ्वी की सतह पर (भूमध्य रेखा पर) वस्तु का उसके केंद्र की ओर त्वरण क्या है? अक्षांश $\theta$ पर यह कितना है? इन त्वरणों की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?
$(b)$ पृथ्वी भी हर साल $1.5 \times 10^{11} \, m$ की कक्षीय त्रिज्या के साथ सूर्य के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमती है। सूर्य के केंद्र की ओर पृथ्वी (या पृथ्वी की सतह पर किसी भी वस्तु) का त्वरण क्या है? इस त्वरण की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?

निम्नलिखित में से उपग्रहों के बारे में एकमात्र गलत कथन कौन सा है?

समान घनत्व और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के कारण,गोले के केंद्र से $3 R$ की दूरी पर स्थित एक कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_1$ है। चित्र में दिखाए अनुसार अब गोले में $(R / 2)$ त्रिज्या का एक गोलाकार छेद किया जाता है। अब छेद वाला गोला उसी कण पर $F_2$ बल लगाता है। $F_1$ और $F_2$ का अनुपात ज्ञात कीजिए।