एक रेखा $A(4, -6, -2)$ और $B(16, -2, 4)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ पर स्थित बिंदु $P(a, b, c)$,जहाँ $a, b, c$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं,बिंदु $A$ से $21$ इकाई की दूरी पर है। बिंदुओं $P(a, b, c)$ और $Q(4, -12, 3)$ के बीच की दूरी ........... है।

माना $P$ बिंदु $A(1, 2, 2)$ से रेखा $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2}$ पर डाले गए लंब का पाद है। माना रेखा $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$,$\lambda \in R$,रेखा $L$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। तो $2(PQ)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$

रेखाएँ $x = ay + b, z = cy + d$ और $x = a'y + b', z = c'y + d'$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,यदि

बिंदु $\bar{i} + 2\bar{j} + 3\bar{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $2\bar{i} + 3\bar{j} + 4\bar{k}$ के समांतर रेखा तथा बिंदु $2\bar{i} + 4\bar{j} + 5\bar{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $3\bar{i} + 4\bar{j} + 5\bar{k}$ के समांतर रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदुओं $P(1, -2, 3)$ और $Q(5, -4, 7)$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित वह बिंदु,जो मूल बिंदु से अधिक दूर है और बिंदु $P$ से $9$ इकाई की दूरी पर है,$(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए: