એક વાંદરો $3 \ s$ માટે લપસણા થાંભલા પર ચઢે છે અને ત્યારબાદ $3 \ s$ માટે લપસે છે. સમય $t$ પર તેનો વેગ $v(t) = 2t(3 - t)$ ($0 < t < 3$ માટે) અને $v(t) = -(t - 3)(6 - t)$ ($3 < t < 6$ માટે) $m/s$ માં આપેલ છે. તે $20 \ m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી આ ચક્રનું પુનરાવર્તન કરે છે.
$(a)$ કયા સમયે તેનો વેગ મહત્તમ હશે?
$(b)$ કયા સમયે તેનો સરેરાશ વેગ મહત્તમ હશે?
$(c)$ કયા સમયે તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય મહત્તમ હશે?
$(d)$ ટોચ પર પહોંચવા માટે કેટલા ચક્ર (અપૂર્ણાંક ગણતા) જરૂરી છે?

(N/A) $0 < t < 3$ માટે,$v(t) = 6t - 2t^2$. $3 < t < 6$ માટે,$v(t) = -t^2 + 9t - 18$.
$(a)$ $0 < t < 3$ માટે,$\frac{dv}{dt} = 6 - 4t = 0 \implies t = 1.5 \ s$. $t = 1.5 \ s$ પર,$v = 4.5 \ m/s$. $3 < t < 6$ માટે,$v$ ઋણ છે,તેથી મહત્તમ વેગ $t = 1.5 \ s$ પર $4.5 \ m/s$ છે.
$(b)$ સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{1}{t} \int_0^t v(t) dt$. $0 < t < 3$ માટે,$v_{avg} = \frac{1}{t} (3t^2 - \frac{2}{3}t^3) = 3t - \frac{2}{3}t^2$. $\frac{dv_{avg}}{dt} = 3 - \frac{4}{3}t = 0 \implies t = 2.25 \ s$ મળે છે.
$(c)$ પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt}$. $0 < t < 3$ માટે,$a = 6 - 4t$. $3 < t < 6$ માટે,$a = -2t + 9$. $t=0$ પર,$|a|=6$. $t=3$ પર,$|a|=6$. $t=6$ પર,$|a|=3$. મહત્તમ મૂલ્ય $6 \ m/s^2$ એ $t=0 \ s$ અને $t=3 \ s$ પર મળે છે.
$(d)$ એક ચક્રમાં સ્થાનાંતર ($0$ થી $6 \ s$): $x_1 = \int_0^3 (6t - 2t^2) dt + \int_3^6 (-t^2 + 9t - 18) dt = 9 + (-4.5) = 4.5 \ m$. $20 \ m$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ચક્ર: $20 / 4.5 \approx 4.44$ ચક્ર.