$1, 2, 3, \ldots, 12$ अंकित $12$ फलकों वाले दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। प्राप्त संख्याओं के योग को $9$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से सभी फेस कार्ड हटा दिए जाते हैं। शेष $40$ पत्तों में से दो पत्ते यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं,तो एक जोड़ी (समान मूल्य के पत्ते) प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

एक संख्या $n$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

यदि $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग $\xi$ का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय $\mathcal{P}(S)$ पर परिभाषित है,तो निम्नलिखित में से कौन सा $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है?
$(i)$ $P(\phi) = 0$
(ii) यदि $E^c$,$E$ की पूरक घटना है,तो $P(E^c) = 1 - P(E)$
(iii) $0 \leq P(E) \leq 1, \forall E \subseteq S$
(iv) यदि $E_1 \subseteq E_2$,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$

यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(B)=\frac{2}{7}$ और $P\left(A \cup B^c\right)=0.8$, तो $P(A \cup B)$ $=$

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?