m द्रव्यमान का एक कण a आयाम और v आवृत्ति के स | vedclass

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Question

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण की तात्क्षणिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{inst}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ द्वारा दी

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$\pi^2 m a^2 v^2$

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(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण की तात्क्षणिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{inst}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।संतुलन स्थिति पर विस्थापन $x = 0$ है,इसलिए $x = a \sin(\omega t)$ के अनुसार $\omega t = 0$ होता है। चरम स्थिति पर $x = a$ होता है,इसलिए $\omega t = \pi/2$ होता है।एक अंतराल के दौरान औसत गतिज ऊर्जा $\langle K angle = \frac{1}{T'} \int_0^{T'} K dt$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $T'$ संतुलन से चरम स्थिति तक जाने में लगा समय है $(T' = T/4 = 1/(4v))$।$\langle K angle = \frac{1}{T/4} \int_0^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t) dt$$\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:$\langle K angle = \frac{4}{T} \cdot \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \int_0^{T/4} \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} dt$$\langle K angle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [t + \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_0^{T/4}$चूंकि $\omega = 2\pi v$ और $T = 1/v$ है,इसलिए $t = T/4$ पर $2\omega t = \pi$ होता है।$\langle K angle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [T/4] = \frac{m \omega^2 a^2}{4} = \frac{m (2\pi v)^2 a^2}{4} = \pi^2 m a^2 v^2$.

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