m द्रव्यमान का एक कण x-अक्ष पर मूलबिंदु के चा | vedclass

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Question

(A) स्थितिज ऊर्जा $V(x) = k|x|^3$ द्वारा दी गई है।कण पर लगने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx} = -3k|x|^2 	ext{sgn}(x)$ है।$m$ द्रव्यमान का कण जो $a$ आयाम

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{a}}$ के समानुपाती

Vedclass · Answer

(A) स्थितिज ऊर्जा $V(x) = k|x|^3$ द्वारा दी गई है।कण पर लगने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx} = -3k|x|^2 	ext{sgn}(x)$ है।$m$ द्रव्यमान का कण जो $a$ आयाम के साथ दोलन करता है,उसकी कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है और चरम स्थिति पर यह स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = V(a) = ka^3$।ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$।अतः,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$।आवर्तकाल $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$ द्वारा प्राप्त होता है।मान लीजिए $x = ay$,तो $dx = a dy$। सीमाएँ $0$ से $1$ तक बदल जाती हैं।$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$।चूंकि समाकलन एक स्थिरांक है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ है।

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