એક રેડિયોએક્ટિવ આઈસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T$ વર્ષ છે. તેની એક્ટિવિટી તેના મૂળ મૂલ્યના $(a)$ $3.125\%$ $(b)$ $1\%$ સુધી ઘટતા કેટલો સમય લાગશે?

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}$ છે.
$(a)$ આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 3.125\% = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$.
કારણ કે $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$,તેથી $e^{-\lambda t} = (\frac{1}{2})^5$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\lambda t = 5 \ln(\frac{1}{2}) = -5 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $-\frac{\ln 2}{T} t = -5 \ln 2$.
આમ,$t = 5T$ વર્ષ.
$(b)$ આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 1\% = \frac{1}{100}$.
$e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \implies -\lambda t = \ln(10^{-2}) = -2 \ln 10$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\lambda} = \frac{2 \times 2.303}{0.693/T} = \frac{4.606}{0.693} T \approx 6.646T$ વર્ષ.