एक समुच्चय में (2n + 1) अवयव हैं। उस समुच्चय | vedclass

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Question

(B) माना $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जो इस योग द्वारा दी जाती है:

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$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(B) माना $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जो इस योग द्वारा दी जाती है: $S = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n}$. हम जानते हैं कि कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ है। संचय के गुणधर्म के अनुसार,$\binom{N}{r} = \binom{N}{N-r}$. अतः,$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1}$,$\binom{2n+1}{1} = \binom{2n+1}{2n}$,...,$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$. माना $X = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r}$. इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2X = \sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$. इसलिए,$X = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

एक समुच्चय में $(2n + 1)$ अवयव हैं। उस समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें अधिकतम $n$ अवयव हैं,क्या होगी?

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