एक ठोस गोला समान ऊँचाई लेकिन अलग-अलग झुकाव कोणों वाले दो अलग-अलग नत समतलों (inclined planes) पर नीचे लुढ़कता है।
$(a)$ क्या यह प्रत्येक स्थिति में समान गति से नीचे पहुँचेगा?
$(b)$ क्या इसे एक समतल पर लुढ़कने में दूसरे की तुलना में अधिक समय लगेगा?
$(c)$ यदि हाँ,तो किस पर और क्यों?

(A) हाँ। $(b)$ हाँ। $(c)$ छोटे झुकाव पर।
$(a)$ मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$,समतल की ऊँचाई $h$ और नीचे वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = v/r$। इन मानों को रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$। चूँकि $v$ केवल $h$ और $g$ पर निर्भर करता है,इसलिए दोनों समतलों के लिए नीचे गति समान रहेगी।
$(b)$ और $(c)$ $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर लुढ़कते गोले का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/mr^2} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7}g \sin \theta$ होता है। चूँकि $a \propto \sin \theta$,छोटे कोण $\theta$ वाले समतल पर त्वरण कम होता है। $u=0$ के साथ गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$t = v/a$ प्राप्त होता है। चूँकि $v$ स्थिर है और छोटे कोण के लिए $a$ कम है,इसलिए छोटे झुकाव वाले समतल पर नीचे पहुँचने में लगा समय $t$ अधिक होगा।