कणों की एक गोलीय सममित गुरुत्वाकर्षण प्रणाली | vedclass

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Question

(C) गोलीय सममित प्रणाली के लिए,$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r)$ द्वारा $r$ दूरी पर स्थित परीक्षण द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल

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(C) गोलीय सममित प्रणाली के लिए,$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित द्रव्यमान $M(r)$ द्वारा $r$ दूरी पर स्थित परीक्षण द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल प्रदान किया जाता है।स्थिति $1$: $r \leq R$ के लिए,द्रव्यमान $M(r) = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ है।गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M(r) m}{r^2} = \frac{G m}{r^2} \cdot \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi G \rho_0 m r$ है।वृत्ताकार गति के लिए,अभिकेंद्र बल $\frac{m V^2}{r} = F = \frac{4}{3} \pi G \rho_0 m r$ है।अतः,$V^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho_0 r^2$,जिसका अर्थ है $V \propto r$।स्थिति $2$: $r > R$ के लिए,कुल द्रव्यमान $M = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ केंद्र पर एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करता है।गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{r^2}$ है।वृत्ताकार गति के लिए,$\frac{m V^2}{r} = \frac{G M m}{r^2}$,जो $V^2 = \frac{G M}{r}$ देता है।अतः,$V \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।इसलिए,चाल $V$ का मान $r \leq R$ के लिए $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है और $r > R$ के लिए $1/\sqrt{r}$ के अनुसार घटता है। यह विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

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