એક દીવાલ જમીન સાથે $135^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. $l$ લંબાઈની એક સીડી દીવાલ પર ટેકવેલી છે. જેમ સીડી નીચે સરકે છે,તેમ તેનું મધ્યબિંદુ એક ઉપવલય (ellipse) નો ચાપ બનાવે છે. તો,તે ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો સીધી રેખા $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 2$ ને $(a, b)$ બિંદુએ સ્પર્શતી હોય,તો $a + \sqrt{2}b =$

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવાઓ ગૌણ અક્ષના ધન અંત્યબિંદુ $(0, b)$ માંથી દોરવામાં આવે છે. તેમના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શેના પર આવેલો છે?

ધારો કે ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો તેમના નાભિલંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{32}{\sqrt{3}}$ હોય,અને $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4$ હોય. જો $E_1$ અને $E_2$ એ $A, B, C$ અને $D$ માં મળે,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જે ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(2, -3)$ આગળ,નાભિકેન્દ્ર $(3, -3)$ આગળ અને એક શિરોબિંદુ $(4, -3)$ આગળ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $1$ હોય,તો ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો કેટલો થાય?