2 इकाई लंबाई के एक तार को दो भागों में काटा ज | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $2$ इकाई है।वर्ग का परिमाप $= 4x$ और वृत्त की परिधि $= 2\pi r$ है।अतः,$4x + 2\pi r = 2$,जिसे सरल करने पर $2x + \pi

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$x = 2r$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $2$ इकाई है।वर्ग का परिमाप $= 4x$ और वृत्त की परिधि $= 2\pi r$ है।अतः,$4x + 2\pi r = 2$,जिसे सरल करने पर $2x + \pi r = 1$ प्राप्त होता है।इससे हमें $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$ प्राप्त होता है।क्षेत्रफलों का योग $A = x^2 + \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।$r$ का मान रखने पर,हमें $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$ प्राप्त होता है।न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 0$.$2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi} = 0$.$\pi$ से गुणा करने पर,हमें $2\pi x - 4 + 8x = 0$ प्राप्त होता है।$x(2\pi + 8) = 4$,इसलिए $x = \frac{4}{2\pi + 8} = \frac{2}{\pi + 4}$.अब,$x$ का मान परिमाप समीकरण में रखने पर: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1$.$\pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.इसलिए,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.$x$ और $r$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $x = \frac{2}{\pi + 4}$ और $r = \frac{1}{\pi + 4}$,जो दर्शाता है कि $x = 2r$.

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