$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ પર નાભિ ધરાવતું ઉપવલય $(1, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જો એક ઉપવલય (ellipse) જેના અક્ષો યામ અક્ષો હોય,અને તેના મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોની લંબાઈ અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ હોય,તે બિંદુઓ $(2,2)$ અને $(3,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તો $3a^2+5b^2=$

ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ છે. તો, $(0, \sqrt{2})$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉપવલયના નાભિઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ એ y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $f$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે. જો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $R - [\alpha, \beta]$ હોય, તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

શંકુ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ માટે,યાદી-$I$ માં આપેલી રેખાઓને યાદી-$II$ માં આપેલા તેમના સમીકરણો સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(P)$ નાભિ $(-3, 0)$ ને અનુરૂપ નિયામિકા	$(1)$ $y = 4$
$(Q)$ શિરોબિંદુ $(0, 4)$ આગળ સ્પર્શક	$(2)$ $3x = 25$
$(R)$ $(3, 0)$ માંથી પસાર થતું નાભિલંબ	$(3)$ $x = 3$
	$(4)$ $y + 4 = 0$
	$(5)$ $x + 3 = 0$
	$(6)$ $3x + 25 = 0$