एक ऑप्टिकल व्यवस्था में दो अवतल दर्पण M_1 और | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $L$ और $M_1$ के बीच की दूरी $d$ है। वस्तु $S$,$L$ से $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर है ($20 	ext{ cm}$ का मध्य बिंदु)। चूंकि $L$ की फोकस दू

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$150$

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(C) मान लीजिए $L$ और $M_1$ के बीच की दूरी $d$ है। वस्तु $S$,$L$ से $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर है ($20 	ext{ cm}$ का मध्य बिंदु)। चूंकि $L$ की फोकस दूरी $10 	ext{ cm}$ है,वस्तु $S$ लेंस $L$ के फोकस पर है। $S$ से आने वाली प्रकाश किरणें $L$ से गुजरती हैं और मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं। ये समानांतर किरणें अवतल दर्पण $M_1$ पर आपतित होती हैं। $M_1$ से परावर्तन के बाद,वे $M_1$ के फोकस पर अभिसरित होती हैं। $M_1$ की फोकस दूरी $f_1 = R_1/2 = 20/2 = 10 	ext{ cm}$ है। अतः,किरणें $M_1$ के सामने $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं। यह बिंदु लेंस $L$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस $L$ से इस बिंदु की दूरी $u = -(d - 10) 	ext{ cm}$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-(d - 10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \quad (i)$। $L$ से निकलने वाली किरणें दर्पण $M_2$ पर आपतित होती हैं। अंतिम प्रतिबिंब के $S$ पर संपाती होने के लिए,किरणों को $M_2$ पर लंबवत आपतित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें $M_2$ के वक्रता केंद्र से आता हुआ प्रतीत होना चाहिए। $M_2$ की वक्रता त्रिज्या $24 	ext{ cm}$ है। चूंकि $S$,$M_2$ से $10 	ext{ cm}$ दूर है,किरणों को $M_2$ से $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर (जो स्वयं $S$ है) अभिसरित होना चाहिए। अतः,$L$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $L$ से $v = 10 	ext{ cm}$ की दूरी पर ($M_2$ की दिशा में) होना चाहिए। $(i)$ में $v = 10$ रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \implies \frac{1}{d - 10} = 0$,जो संभव नहीं है। पुनर्मूल्यांकन: $M_1$ से परावर्तन के बाद किरणें $M_1$ से $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। मान लीजिए यह $I_1$ है। $I_1$,$L$ से $(d-10)$ की दूरी पर है। अंतिम प्रतिबिंब को $S$ पर प्राप्त करने के लिए,किरणों को $M_2$ पर इस तरह आपतित होना चाहिए कि वे अपने पथ को वापस ले लें। यह तब होता है जब वे $M_2$ के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों। $M_2$ का वक्रता केंद्र $M_2$ से $24 	ext{ cm}$ की दूरी पर है,अर्थात $L$ के पीछे $4 	ext{ cm}$ की दूरी पर। $L$ के लिए $u = -(d-10)$ और $v = +4$ के साथ लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{4} - \frac{1}{-(d-10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{d-10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{4} = \frac{2-5}{20} = -\frac{3}{20}$। इससे $d-10 = -20/3$,$d = 10 - 6.67 = 3.33$ प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से,यदि $M_1$ से आने वाली किरणें $L$ से फिर से गुजरने के बाद $S$ पर प्रतिबिंब बनाती हैं: $M_2$ के लिए,वस्तु $S$ $10 	ext{ cm}$ पर है। $f_2 = -12 	ext{ cm}$। $\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{-12} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \implies v = 60 	ext{ cm}$। यह प्रतिबिंब $L$ के लिए $u = -(20+60) = -80 	ext{ cm}$ पर वस्तु के रूप में कार्य करता है। $\frac{1}{v_L} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_L} = \frac{1}{10} - \frac{1}{80} = \frac{7}{80} \implies v_L = 80/7$। यह $v_L$ $L$ से वह दूरी है जहाँ $M_1$ से आने वाली किरणों को अभिसरित होना चाहिए। चूंकि $M_1$ की $f=10$ है,$L$ से आने वाली किरणें (समानांतर) $M_1$ से $10 	ext{ cm}$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। इसलिए $d - 10 = 80/7 \implies d = 150/7$। अतः $n = 150$।

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