एक साधारण पासे को कुछ निश्चित बार उछाला जाता | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि पासे को $n$ बार उछाला जाता है। एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और सम संख्या प्राप्त करने

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए कि पासे को $n$ बार उछाला जाता है। एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।विषम संख्या $2$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी गई है: $P(X=2) = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{n-2} = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{n}$.सम संख्या $3$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता,विषम संख्या $(n-3)$ बार प्राप्त करने के बराबर है: $P(Y=3) = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{n}$.यह दिया गया है कि $P(X=2) = P(Y=3)$,इसलिए ${}^{n}C_{2} = {}^{n}C_{3}$.गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$2 + 3 = n$,अतः $n = 5$.हमें विषम संख्या के विषम बार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$ है।$P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = {}^{5}C_{1} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{3} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{2^{5}} (5 + 10 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

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