दो वक्रों y^2 = 4ax और x^2 = 4ay के बीच घिरा | vedclass

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Question

(D) वक्रों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।$x^2 = 4ay$ से,हमें $y = \fr

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$\frac{16}{3} a^2 	ext{ वर्ग इकाई}$

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(D) वक्रों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।$x^2 = 4ay$ से,हमें $y = \frac{x^2}{4a}$ प्राप्त होता है।इसे $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{x^2}{4a})^2 = 4ax$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ हो जाता है।अतः,$x^4 = 64a^3x$,जो $x(x^3 - 64a^3) = 0$ देता है।इसलिए,$x = 0$ या $x = 4a$ है।वांछित क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 4a$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के अंतर का समाकलन है।ऊपरी वक्र $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ है और निचला वक्र $y = \frac{x^2}{4a}$ है।क्षेत्रफल $= \int_0^{4a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - \frac{x^2}{4a}) dx$$= [2\sqrt{a} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12a}]_0^{4a}$$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot (4a)^{3/2} - \frac{(4a)^3}{12a}]$$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot 8a\sqrt{a} - \frac{64a^3}{12a}]$$= \frac{32}{3}a^2 - \frac{16}{3}a^2 = \frac{16}{3}a^2 	ext{ वर्ग इकाई}$।

दो वक्रों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल है

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