कथन (A): int_{frac{pi}{2}}^{frac{3 pi}{2}} [2 | vedclass

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Question

(D) समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} [2 \sin x] dx$ पर विचार करें। अंतराल $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ में,$0 \le \sin x \le 1$

Vedclass · Accepted Answer

$A$ असत्य है,$R$ सत्य है

Vedclass · Answer

(D) समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} [2 \sin x] dx$ पर विचार करें। अंतराल $\left[\frac{\pi}{2}, \piight]$ में,$0 \le \sin x \le 1$,इसलिए $0 \le 2 \sin x \le 2$. विशेष रूप से,$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}ight)$ के लिए,$1 \le 2 \sin x $x \in \left[\frac{5\pi}{6}, \piight]$ के लिए,$0 \le 2 \sin x $x \in \left[\pi, \frac{7\pi}{6}ight]$ के लिए,$-1 \le 2 \sin x $x \in \left[\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}ight]$ के लिए,$-2 \le 2 \sin x समाकलन की गणना करने पर: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} 1 dx + \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} 0 dx + \int_{\pi}^{\frac{7\pi}{6}} (-1) dx + \int_{\frac{7\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{2}} (-2) dx = \left(\frac{\pi}{3}ight) + 0 - \left(\frac{\pi}{6}ight) - 2\left(\frac{\pi}{3}ight) = -\frac{\pi}{2} 
eq 0$. अतः,$A$ असत्य है। फलन $f(x) = 2 \sin x$ का अवकलज $f'(x) = 2 \cos x$ है। $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}ight]$ में,$\cos x \le 0$,इसलिए $f'(x) \le 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है। अतः,$R$ सत्य है।

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