समय t=0 पर, एक पदार्थ दो रेडियोधर्मी परमाणुओं | vedclass

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Question

(C) क्षय प्रक्रियाएं $A \xrightarrow{\lambda} B$ और $B \xrightarrow{\lambda} C$ हैं।$B$ परमाणुओं की संख्या में परिवर्तन की दर है:$\frac{dN_{B}}{dt} =

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(C) क्षय प्रक्रियाएं $A \xrightarrow{\lambda} B$ और $B \xrightarrow{\lambda} C$ हैं।$B$ परमाणुओं की संख्या में परिवर्तन की दर है:$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda N_{A} - \lambda N_{B}$चूंकि $N_{A}(t) = N_{A}(0) e^{-\lambda t}$ और $N_{A}(0) = 2 N_{B}(0)$, इसलिए $N_{A}(t) = 2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}$ है।इसे दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda (2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}) - \lambda N_{B}$$\frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} = 2 \lambda N_{B}(0) e^{-\lambda t}$यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $e^{\lambda t}$ से गुणा करने पर:$e^{\lambda t} \frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0)$$\frac{d}{dt} (N_{B} e^{\lambda t}) = 2 \lambda N_{B}(0)$दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0) t + C$$t=0$ पर, $N_{B} = N_{B}(0)$, इसलिए $C = N_{B}(0)$ है।$N_{B} e^{\lambda t} = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t)$$N_{B}(t) = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$अतः, $\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)} = (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$ है।अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, $\frac{d}{dt} (\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)}) = 0$ रखें:$2 \lambda e^{-\lambda t} - \lambda (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t} = 0$$2 - 1 - 2 \lambda t = 0 \implies 1 = 2 \lambda t \implies t = \frac{1}{2 \lambda}$ है।$t = \frac{1}{2 \lambda}$ पर, मान $(1 + 2 \lambda (\frac{1}{2 \lambda})) e^{-\lambda (\frac{1}{2 \lambda})} = 2 e^{-0.5} \approx 1.21$ है।यह चित्र $C$ में दिखाए गए व्यवहार से मेल खाता है।

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