$Be^{3+}$ की किस उत्तेजित अवस्था में $e^{-}$ की त्रिज्या $H$ परमाणु की मूल अवस्था (ground state) में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या के समान होगी?

एक काल्पनिक बोहर हाइड्रोजन परमाणु में,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाता है। पहली कक्षा की ऊर्जा $E_0$ और त्रिज्या $r_0$ क्या होगी? ($a_0$ बोहर त्रिज्या है)

हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) में एक इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या $5.3 \times 10^{-11} \ m$ है,जबकि तीसरी उत्तेजित अवस्था (third excited state) में इलेक्ट्रॉन के लिए यह $8.48 \times 10^{-10} \ m$ है। मूल अवस्था और तीसरी उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात क्या है?

हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन का विभव $V = V_0 \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$ द्वारा दिया गया है; जहाँ $r_0$ एक स्थिरांक है। यह मानते हुए कि यह प्रणाली बोहर मॉडल का पालन करती है,त्रिज्या $r_n$ और मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

$(a)$ बोहर मॉडल का उपयोग करके हाइड्रोजन परमाणु में $n = 1, 2,$ और $3$ स्तरों में इलेक्ट्रॉन की गति की गणना करें।
$(b)$ इन स्तरों में से प्रत्येक में कक्षीय आवर्तकाल की गणना करें।

हाइड्रोजन परमाणु में जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है,तो विकिरण की आवृत्ति और तरंग संख्या के लिए समीकरण प्राप्त कीजिए।