निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,lim _{n ri | vedclass

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Question

(B) दिया गया व्यंजक $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) दिया गया व्यंजक $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$।समाकल का मान ज्ञात करने पर,$S = [\sin ^{-1} x]_0^1$ प्राप्त होता है।$S = \sin ^{-1}(1) - \sin ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$।

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{1}{3 n^2+8 n+4}+\frac{1}{3 n^2+16 n+16}+\ldots+\frac{1}{15 n^2}\right]=$

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\le x$ को दर्शाता है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^4} \left( [1^3 x] + [2^3 x] + \dots + [n^3 x] \right)$ का मान क्या होगा?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}}\left[ {1\cos \frac{1}{{{n^2}}} + 2\cos \frac{4}{{{n^2}}} + 3\cos \frac{9}{{{n^2}}} + .... + 2n\cos 4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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