सीमा का मान ज्ञात कीजिए: mathop {lim}limits_{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दी गई सीमा $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ के र

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) दी गई सीमा $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ के रूप में है। यहाँ,व्यंजक को $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{r}{n}ight)$ के रूप में लिखा जा सकता है। निश्चित समाकलन की परिभाषा से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight)$ प्राप्त होता है। अतः,सीमा का मान $\frac{\pi}{2} \int\limits_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight) \, dx$ होगा। समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\frac{\pi}{2} \left[ \frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{\frac{\pi}{2}} ight]_0^1 = \left[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}ight) ight]_0^1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}ight) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n^{3 / 2}}{n^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{n^{3 / 2}}+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2)^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3)^{3 / 2}}+\ldots+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2(n-1))^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3(n-1))^{3 / 2}}\right]=$

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module