lim _{n rightarrow infty}left[frac{n^{3 / 2}} | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा को योग के रूप में लिखा जा सकता है:$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(

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$\frac{-1}{9 \sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई सीमा को योग के रूप में लिखा जा सकता है:$\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(n+3r)^{3/2}} ight]$अंश और हर को क्रमशः $n^{5/2}$ और $n^{3/2}$ से विभाजित करने पर:$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{1}{(1+2r/n)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3r/n)^{3/2}} ight]$यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकलन में परिवर्तित हो जाता है:$\int_0^1 \left( \frac{1}{(1+2x)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3x)^{3/2}} ight) dx$पद-दर-पद समाकलन करने पर:$= \left[ \frac{(1+2x)^{-3/2}}{-3/2 	imes 2} - \frac{(1+3x)^{-1/2}}{-1/2 	imes 3} ight]_0^1$$= \left[ -\frac{1}{3(1+2x)^{3/2}} + \frac{2}{3(1+3x)^{1/2}} ight]_0^1$$0$ और $1$ सीमाओं पर मूल्यांकन करने पर:$= \left( -\frac{1}{3(3)^{3/2}} + \frac{2}{3(4)^{1/2}} ight) - \left( -\frac{1}{3(1)^{3/2}} + \frac{2}{3(1)^{1/2}} ight)$$= \left( -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{2}{6} ight) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} ight)$$= -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n^{3 / 2}}{n^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{n^{3 / 2}}+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2)^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3)^{3 / 2}}+\ldots+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2(n-1))^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3(n-1))^{3 / 2}}\right]=$

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

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