f: R rightarrow R દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(NONE) વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.એક-એક વિધેય માટે:ધારો કે $f(-1) = (-1)^2 = 1$ અને $f(1) = (1)^2 = 1$.અહીં $f(-1

Vedclass · Accepted Answer

Vedclass · Answer

(NONE) વિધેય $f: R ightarrow R$ એ $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.એક-એક વિધેય માટે:ધારો કે $f(-1) = (-1)^2 = 1$ અને $f(1) = (1)^2 = 1$.અહીં $f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 
eq 1$ હોવાથી,આ વિધેય એક-એક (injective) નથી.વ્યાપ્ત વિધેય માટે:વિધેય $f$ નો સહ-પ્રદેશ $R$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) છે.કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x^2 \geq 0$ થાય છે. તેથી,સહ-પ્રદેશમાં રહેલી ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે પ્રદેશમાં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ મળતું નથી.ઉદાહરણ તરીકે,$-2 \in R$ છે,પરંતુ એવો કોઈ $x \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = -2$ થાય (કારણ કે $x^2 = -2$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).તેથી,આ વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) નથી.નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ એવું છે કે $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ એવું છે કે $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ એવું છે કે $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ એવું છે કે $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી
	$V.$ $f$ અચળ વિધેય છે અને બાયજેક્શન પણ છે

$f: R \rightarrow R$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^2$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Similar Questions

ધારો કે એક વિધેય $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ એ $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ એ

જો $f(x) = \sin([\pi^2]x) - \sin([-\pi^2]x)$ હોય,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\leq x$ દર્શાવે છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય નથી?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module