जाँच कीजिए कि क्या $\mathbb{R}$ में परिभाषित संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ स्वतुल्य,सममित या संक्रामक है।
(D) संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो,तो संबंध स्वतुल्य है।
माना $a = \frac{1}{2}$. चूँकि $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$,इसलिए $a \leq a^3$ की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$. इसलिए,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ हो,तो संबंध सममित है।
माना $(1, 2) \in R$ क्योंकि $1 \leq 2^3 = 8$.
लेकिन $(2, 1)$ के लिए,$2 \not\leq 1^3 = 1$. अतः,$(2, 1) \notin R$.
इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ होने पर $(a, c) \in R$ हो,तो संबंध संक्रामक है।
माना $(3, \frac{3}{2})$ और $(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \in R$.
यहाँ $3 \leq (\frac{3}{2})^3 = 3.375$ (सत्य) और $\frac{3}{2} \leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$ (सत्य)।
लेकिन $(3, \frac{6}{5})$ के लिए,$3 \not\leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$.
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो,तो संबंध स्वतुल्य है।
माना $a = \frac{1}{2}$. चूँकि $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$,इसलिए $a \leq a^3$ की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$. इसलिए,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ हो,तो संबंध सममित है।
माना $(1, 2) \in R$ क्योंकि $1 \leq 2^3 = 8$.
लेकिन $(2, 1)$ के लिए,$2 \not\leq 1^3 = 1$. अतः,$(2, 1) \notin R$.
इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ होने पर $(a, c) \in R$ हो,तो संबंध संक्रामक है।
माना $(3, \frac{3}{2})$ और $(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \in R$.
यहाँ $3 \leq (\frac{3}{2})^3 = 3.375$ (सत्य) और $\frac{3}{2} \leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$ (सत्य)।
लेकिन $(3, \frac{6}{5})$ के लिए,$3 \not\leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$.
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।
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