$15$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને સમાન સંખ્યાના પાંચ ઢગલામાં વહેંચવાની સાચી રીતોની સંખ્યા પસંદ કરો.

$5$ ખરા-ખોટા પ્રકારના પ્રશ્નોના સેટ માટે,કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા નથી,અને કોઈ પણ $2$ વિદ્યાર્થીઓએ જવાબોનો સમાન ક્રમ આપ્યો નથી. આ શક્ય બને તે માટે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી હશે?

$BARRACK$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા કેટલી છે?

$8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓમાંથી $11$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો $m$ એ ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો સાથે સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા હોય અને $n$ એ ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ સાથે સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા હોય,તો:

$16$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ક્રિકેટ ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય જો $2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને સામેલ કરવાના હોય અને $1$ ચોક્કસ ખેલાડીને બાકાત રાખવાનો હોય?

કુલ $12$ સભ્યોમાંથી વિદેશ મોકલવા માટે $6$ સભ્યોની પસંદગી કરવાની છે. આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય કે જેથી એક ચોક્કસ સભ્ય હંમેશા બાકાત રહે?