Column-IColumn-II(A) एक त्रिभुज triangle XYZ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $a^2-b^2=\frac{c^2}{2}$। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$4R^2(\sin^2 X - \sin^2 Y) = \frac{4R^2}{2} \sin^2 Z$। $\Rightarrow 2

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$(A) \rightarrow (P, R, S), (B) \rightarrow (P), (C) \rightarrow (P, Q), (D) \rightarrow (S, T)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $a^2-b^2=\frac{c^2}{2}$। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$4R^2(\sin^2 X - \sin^2 Y) = \frac{4R^2}{2} \sin^2 Z$। $\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin(X+Y) = \sin^2 Z$। चूँकि $X+Y = \pi-Z$,इसलिए $\sin(X+Y) = \sin Z$। $\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin Z = \sin^2 Z \Rightarrow \lambda = \frac{\sin(X-Y)}{\sin Z} = \frac{1}{2}$। $\cos(\frac{n\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \frac{n\pi}{2} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow n$ एक विषम पूर्णांक है। विकल्पों में से संभावित मान $1, 3, 5$ हैं। $(B)$ $1+\cos 2X - 2\cos 2Y = 2\sin X \sin Y$। सरलीकरण करने पर $\frac{a}{b}=1$ प्राप्त होता है। $(C)$ $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ का समद्विभाजक $y=x$ है। $Z(\beta, 1-\beta)$ की $x-y=0$ से दूरी $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|2\beta-1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है। $|2\beta-1|=3 \Rightarrow 2\beta-1=3$ या $2\beta-1=-3 \Rightarrow \beta=2, -1$। अतः $|\beta|=2, 1$। $(D)$ $\alpha=0$ के लिए,$y=3$। क्षेत्रफल $= \int_0^2 (3-2\sqrt{x}) dx = 6 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$। $F(0)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 6$। $\alpha=1$ के लिए,$y=|x-1|+|x-2|+x$। क्षेत्रफल $= 5 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$। $F(1)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 5$।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

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