વિધેય f: [-1, 1] to R ધ્યાનમાં લો જ્યાં f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \l

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક અને અંતર્વિષ્ટ

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left( \alpha_1 + 3\alpha_3 (\sin^{-1} x)^2 + \dots + (2n+1)\alpha_{2n+1} (\sin^{-1} x)^{2n} \right) + \frac{1}{1+x^2}$. અહીં $\alpha_i > 0$ હોવાથી અને $(\sin^{-1} x)^{2k}$ પદો અઋણ હોવાથી,$f'(x) > 0$ તમામ $x \in (-1, 1)$ માટે થાય છે. આમ,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક-એક છે. પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે,તેથી વિસ્તાર $[f(-1), f(1)]$ છે. $f(-1) = \alpha_1(-\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(-\pi/2)^{2n+1} - (3\pi/4)$ અને $f(1) = \alpha_1(\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(\pi/2)^{2n+1} - (\pi/4)$. વિસ્તાર $[f(-1), f(1)]$ એ $R$ નો ઉપગણ છે પણ $R$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય અંતર્વિષ્ટ (into) છે. તેથી,$f(x)$ એક-એક અને અંતર્વિષ્ટ છે.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયો આલેખ $f(x) = \tan^{-1} x, (x \in R)$ નો આલેખ છે?

$\tan (\cos ^{ - 1}x)$ ની કિંમત શું થાય?

$\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \sec^{-1}(-2) - \sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો

$\tan \left[ \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) \right] = $

$1 + \cot^2(\sin^{-1}x) = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module