XY-समतल में वर्गाकार प्लेटों वाले एक समांतर प | vedclass

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Question

(B) वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल,$A = L^2$ है। ऊपर से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई वाले एक सूक्ष्म संधारित्र पर विचार करें। इस सूक्ष्म संधारित्र की धारिता नि

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(B) वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल,$A = L^2$ है। ऊपर से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई वाले एक सूक्ष्म संधारित्र पर विचार करें। इस सूक्ष्म संधारित्र की धारिता निम्न है: $dC = \frac{k \varepsilon_0 dA}{d} = \frac{k \varepsilon_0 (L \cdot dx)}{d}$ चूंकि ऐसे सभी सूक्ष्म संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_d$ इन सभी सूक्ष्म धारिताओं का योग (समाकलन) होगी: $C_d = \int_0^L \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[1 + \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha\right] dx$ $C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ x + \frac{x^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right]_0^L$ $C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ L + \frac{L^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right] = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( 1 + \frac{1}{\alpha+1} \right) = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)$ वायु की अनुपस्थिति में धारिता $C_a = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ है। दिया गया अनुपात $\frac{C_d}{C_a} = \frac{7}{6}$ है: $\frac{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)}{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}} = \frac{7}{6}$ $\frac{\alpha+2}{\alpha+1} = \frac{7}{6}$ $6(\alpha+2) = 7(\alpha+1)$ $6\alpha + 12 = 7\alpha + 7$ $\alpha = 5$

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