द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

(A) दिया गया है कि $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,जहाँ $a, b \in R$ है।
$^*$ के लिए,$a \,^*\, b = |a-b|$ और $b \,^*\, a = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$। चूँकि $a \,^*\, b = b \,^*\, a$,इसलिए $^*$ क्रमविनिमेय है।
$^*$ की साहचर्यता के लिए: $(1 \,^*\, 2) \,^*\, 3 = |1-2| \,^*\, 3 = 1 \,^*\, 3 = |1-3| = 2$,जबकि $1 \,^*\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,^*\, |2-3| = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$। चूँकि $2 \neq 0$,इसलिए $^*$ साहचर्य नहीं है।
$o$ के लिए,$1 \,o\, 2 = 1$ और $2 \,o\, 1 = 2$। चूँकि $1 \neq 2$,इसलिए $o$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$o$ की साहचर्यता के लिए: $(a \,o\, b) \,o\, c = a \,o\, c = a$ और $a \,o\, (b \,o\, c) = a \,o\, b = a$। चूँकि दोनों पक्ष $a$ के बराबर हैं,इसलिए $o$ साहचर्य है।
$^*$ का $o$ पर वितरण: $a \,^*\, (b \,o\, c) = a \,^*\, b = |a-b|$ और $(a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c) = |a-b| \,o\, |a-c| = |a-b|$। अतः $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है।
$o$ का $^*$ पर वितरण: $1 \,o\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,o\, |2-3| = 1 \,o\, 1 = 1$,जबकि $(1 \,o\, 2) \,^*\, (1 \,o\, 3) = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$। चूँकि $1 \neq 0$,इसलिए $o$,$^*$ पर वितरित नहीं होता है।