उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके | vedclass

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Question

(C) केंद्र $(h, h)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - h)^2 = r^2$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2

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$(B, C)$

Vedclass · Answer

(C) केंद्र $(h, h)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - h)^2 = r^2$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = r^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2h(x + y) + 2h^2 - r^2 = 0$ हो जाता है।माना $C = 2h^2 - r^2$. अतः $x^2 + y^2 - 2h(x + y) + C = 0$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy^{\prime} - 2h(1 + y^{\prime}) = 0$,जिससे $h = \frac{x + yy^{\prime}}{1 + y^{\prime}}$ प्राप्त होता है।$h$ का मान समीकरण में वापस रखने पर: $x^2 + y^2 - 2\left(\frac{x + yy^{\prime}}{1 + y^{\prime}}\right)(x + y) + C = 0$.पुनः अवकलन करने पर: $2 + 2(y^{\prime})^2 + 2yy^{\prime \prime} - 2\frac{d}{dx}\left[\frac{(x + yy^{\prime})(x + y)}{1 + y^{\prime}}\right] = 0$.सरलीकरण के बाद,अवकल समीकरण $(y - x)y^{\prime \prime} + (1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2)y^{\prime} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।इसे $Py^{\prime \prime} + Qy^{\prime} + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = y - x$ और $Q = 1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$ प्राप्त होता है।अतः,$P = y - x$ (कथन $B$ सत्य है)।$P + Q = (y - x) + (1 + y^{\prime} + (y^{\prime})^2) = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$ (कथन $C$ सत्य है)।इसलिए,सही विकल्प $(B, C)$ है।

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