समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: ax + by + | vedclass

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Question

(B) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है: $ax + by + cz = 2$ $bx + cy + az = 2$ $cx + ay + bz = 2$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है: $\Delta = \begin{vmatrix} a

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असंगत है

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(B) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है: $ax + by + cz = 2$ $bx + cy + az = 2$ $cx + ay + bz = 2$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है: $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix}$ पंक्ति संक्रिया $R_1 ightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर: $\Delta = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix}$ चूंकि $a+b+c = 0$, हमें प्राप्त होता है: $\Delta = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0 	imes \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ चूंकि $\Delta = 0$, प्रणाली का या तो कोई समाधान नहीं है या अनंत समाधान हैं। आइए $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ की गणना करके संगति की जाँच करें। $\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & b & c \ 2 & c & a \ 2 & a & b \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & b & c \ 1 & c & a \ 1 & a & b \end{vmatrix} = 2(c^2 + ab + ab - c^2 - a^2 - b^2) = 2(2ab - a^2 - b^2 - c^2)$. चूंकि $a+b+c=0$, $c = -(a+b)$, इसलिए $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. अतः, $\Delta_x = 2(2ab - a^2 - b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)) = 2(-2a^2 - 2b^2) = -4(a^2 + b^2)$. यदि $a, b, c$ सभी शून्य नहीं हैं, तो $\Delta_x 
eq 0$। चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्य नहीं है, इसलिए प्रणाली असंगत है।

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