सदिशों vec{x}=hat{i}+2hat{j}+3hat{k},vec{y}=2 | vedclass

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Question

(D) चूंकि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = 0$.इसे दो

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$-2$

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(D) चूंकि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = 0$.इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & -1 \ -1 & \alpha & \beta \ \beta & -1 & \alpha \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.दूसरे सारणिक की गणना करने पर: $1(6-1) - 2(4-3) + 3(2-9) = 5 - 2 - 21 = -18 
eq 0$.अतः,पहला सारणिक शून्य होना चाहिए: $\alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 - 3(\alpha)(\beta)(-1) = 0$.$\alpha^3 + \beta^3 - 1 + 3\alpha\beta = 0 \Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 + (-1)^3 = 3\alpha\beta(-1)$.सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ का उपयोग करने पर,हमें $(\alpha+\beta-1)(\alpha^2+\beta^2+1-\alpha\beta+\alpha+\beta) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $\alpha, \beta > 0$,दूसरा गुणनखंड हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\alpha+\beta-1 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha+\beta = 1$.अतः,$\alpha+\beta-3 = 1-3 = -2$.

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