સદિશો $u = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$,$v = a^2 \hat{i} + b^2 \hat{j} + c^2 \hat{k}$ અને $w = a^3 \hat{i} + b^3 \hat{j} + c^3 \hat{k}$ ધ્યાનમાં લો. આ સદિશો સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો

ધારો કે $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સદિશો છે,જ્યાં $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એકમ સદિશો છે જે એકબીજાને લંબ નથી અને $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ છે. જો સમાંતરફલકનું ઘનફળ,જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\sqrt{2}$ હોય,તો $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો સદિશો $2i - 3j$,$i + j - k$ અને $3i - k$ એક સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ત્રણ સંગામી ધાર બનાવતા હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય?

સદિશો $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

જો ત્રણ અસમતલીય સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $4$ ઘન એકમ હોય,તો $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{p}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{q}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ માટે,$15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} \times \vec{q})$ હોય,તો $\gamma$ ની કિંમત શોધો.