एक अनुक्रम $\{a_n\}_{n \geq 0}$ को $a_n = \sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}$ द्वारा परिभाषित करें,जहाँ $n \geq 1$ और $a_0 = \cos \theta \neq \pm 1$ है। तब,$\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n(1-a_n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं। यदि $x_1, x_2, x_3, x_4$ में से क्रमशः $2, 7, 9, 5$ घटाया जाता है,तो प्राप्त संख्याएँ एक समांतर श्रेणी में होती हैं। तब $\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4)$ का मान है:

एक समांतर श्रेणी को निम्नलिखित तरीके से लिखा गया है। $10^{\text{th}}$ पंक्ति के सभी पदों का योग .......... है।

मान लीजिए कि एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $n$ पदों का योग $3n^2 + 5n$ है। तो इस समांतर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों के वर्गों का योग क्या होगा?

मान लीजिए कि एक श्रेणी का प्रथम पद $T_1=6$ है और इसका $r$-वाँ पद $T_r=3T_{r-1}+6^r$ है,जहाँ $r=2, 3, \ldots, n$ है। यदि इस श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $\frac{1}{5}(n^2-12n+39)(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $V_r$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $r$ पदों का योग है,जिसका प्रथम पद $r$ है और सार्व अंतर $(2r-1)$ है। मान लीजिए $T_r = V_{r+1} - V_r - 2$ और $Q_r = T_{r+1} - T_r$ जहाँ $r = 1, 2, \ldots$
$1.$ योग $V_1 + V_2 + \ldots + V_n$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2-n+1)$
$(B)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2+n+2)$
$(C)$ $\frac{1}{2} n(2n^2-n+1)$
$(D)$ $\frac{1}{3}(2n^3-2n+3)$
$2.$ $T_r$ हमेशा क्या है?
$(A)$ एक विषम संख्या
$(B)$ एक सम संख्या
$(C)$ एक अभाज्य संख्या
$(D)$ एक भाज्य संख्या
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $5$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(B)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $6$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(C)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $11$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(D)$ $Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots$