मान लीजिए कि एक श्रेणी का प्रथम पद T_1=6 है औ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $T_1=6$ और $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ के लिए।$3^r$ से भाग देने पर,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ प्राप्त होता है।

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $T_1=6$ और $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ के लिए।$3^r$ से भाग देने पर,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ प्राप्त होता है।माना $a_r = \frac{T_r}{3^r}$ है। तब $a_r = a_{r-1} + 2^r$ जहाँ $a_1 = \frac{T_1}{3} = 2$ है।$r=2$ से $n$ तक योग करने पर,$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n 2^k = 2 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = 2 + \frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$ प्राप्त होता है।अतः,$T_n = 3^n(2^{n+1}-2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 3^n$ है।योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 2 \sum_{r=1}^n 6^r - 2 \sum_{r=1}^n 3^r$ है।$S_n = 2 \left[ \frac{6(6^n-1)}{5} \right] - 2 \left[ \frac{3(3^n-1)}{2} \right] = \frac{12}{5}(6^n-1) - 3(3^n-1) = \frac{3}{5}(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$ है।दिए गए योग के साथ तुलना करने पर,$n^2-12n+39 = 3$ प्राप्त होता है।$n^2-12n+36 = 0 \implies (n-6)^2 = 0 \implies n=6$।

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