પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈને કારણે $g$ માં થતા ફેરફાર માટેનું સમીકરણ તારવો.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર રહેલા $m$ દળના પદાર્થને ધ્યાનમાં લો. આ પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R_{E} + h$ અંતરે બિંદુ $P$ પર રહેલો છે.
પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F(h) = \frac{GM_{E}m}{(R_{E} + h)^{2}}$
$F = mg(h)$ હોવાથી,$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ:
$g(h) = \frac{F(h)}{m} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \quad ......(1)$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(h = 0)$:
$g = \frac{GM_{E}}{R_{E}^{2}} \quad ......(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g(h)}{g} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}} = \frac{R_{E}^{2}}{(R_{E} + h)^{2}}$
$\frac{g(h)}{g} = \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}^{2}(1 + \frac{h}{R_{E}})^{2}} = \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2}$
$g(h) = g \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2} \quad ......(3)$
નાની ઊંચાઈઓ $(h \ll R_{E})$ માટે,આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$g(h) \approx g \left(1 - \frac{2h}{R_{E}}\right) \quad ......(4)$
સમીકરણ $(3)$ કોઈપણ ઊંચાઈ માટે માન્ય છે,જ્યારે સમીકરણ $(4)$ માત્ર $h \ll R_{E}$ હોય ત્યારે જ માન્ય છે.