अंतराल [1, e^2] पर फलन f(x) = x(ln x - 2) के | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = x(\ln x - 2)$ अंतराल $[1, e^2]$ पर है।क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f

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$e$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = x(\ln x - 2)$ अंतराल $[1, e^2]$ पर है।क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 2) + (\ln x - 2) \cdot \frac{d}{dx}(x)$$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x - 2 = 1 + \ln x - 2 = \ln x - 1$.$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln x - 1 = 0$,अतः $\ln x = 1$,जिसका अर्थ है $x = e$.अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:$f(1) = 1(\ln 1 - 2) = 1(0 - 2) = -2$.$f(e) = e(\ln e - 2) = e(1 - 2) = -e$.$f(e^2) = e^2(\ln e^2 - 2) = e^2(2 - 2) = 0$.मानों $\{-2, -e, 0\}$ की तुलना करने पर,चूंकि $e \approx 2.718$,न्यूनतम मान $-e$ है और अधिकतम मान $0$ है।अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $0 - (-e) = e$ है।

अंतराल $[1, e^2]$ पर फलन $f(x) = x(\ln x - 2)$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर है:

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