$cosine, cosecant, secant$ और $cotangent$ फलनों की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।

(N/A) हम जानते हैं कि यदि $g$ और $h$ दो सतत फलन हैं,तो:
$i.$ $\frac{h(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$ सतत है।
$ii.$ $\frac{1}{g(x)}, g(x) \neq 0$ सतत है।
$iii.$ $\frac{1}{h(x)}, h(x) \neq 0$ सतत है।
सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $g(x) = \sin x$ और $h(x) = \cos x$ सतत फलन हैं।
$g(x) = \sin x$ के लिए,मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जैसे $x \to c$,वैसे ही $h \to 0$.
$\lim_{x \to c} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(c + h) = \lim_{h \to 0} [\sin c \cos h + \cos c \sin h] = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c = g(c)$.
अतः,$g(x) = \sin x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
इसी प्रकार,$h(x) = \cos x$ के लिए,$\lim_{x \to c} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(c + h) = \lim_{h \to 0} [\cos c \cos h - \sin c \sin h] = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c = h(c)$.
अतः,$h(x) = \cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
अब,अन्य फलनों के लिए:
$1.$ $\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
$2.$ $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\sin x \neq 0$,अर्थात $x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$3.$ $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\cos x \neq 0$,अर्थात $x \neq (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
$4.$ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\sin x \neq 0$,अर्थात $x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}$.