$5.9\,cm$ લંબાઈનો $\overline{ AB }$ દોરો અને તેને $A$ થી $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરો.

(N/A) માહિતી: $5.9\,cm$ લંબાઈનો $\overline{ AB }$ આપેલ છે.
રચના: $\overline{ AB }$ ને $A$ થી $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવાનો છે.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ ના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં $\overline{ AB }$ ને સમાવતા,$\overrightarrow{ AX }$ અને $\overrightarrow{ BY }$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle XAB$ અને $\angle YBA$ એકરૂપ લઘુકોણ બને.
$(2)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A$ લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો એક ચાપ $A_{1}$ પર દોરો. તેવી જ રીતે,કેન્દ્ર $A_{1}$ અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{2}$ પર દોરો જેથી $A-A_{1}-A_{2}$ થાય. તેવી જ રીતે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A_{k}$ લઈને $\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{k+1}$ પર દોરો જેથી $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ થાય,જ્યાં $k=2, 3, 4$. આમ,આપણને $\overrightarrow{ AX }$ પર પાંચ બિંદુઓ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ અને $A_{5}$ મળે છે જેથી $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ થાય.
$(3)$ હવે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ થી શરૂ કરીને,$\overrightarrow{ BY }$ પર સાત બિંદુઓ $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ અને $B_{7}$ મેળવો જેથી $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ થાય.
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ દોરો જે $\overline{ AB }$ ને $M$ માં છેદે છે.
આમ,$M \in \overline{ AB }$ એ બિંદુ છે જે $\overline{ AB }$ ને $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
સમર્થન: અહીં $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$. કારણ કે $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ અને $\Delta BB_{7}M$ વચ્ચેની સંગતતા $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ એ સમરૂપતા છે.
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.