$7 \, cm$ લંબાઈનો એક રેખાખંડ દોરો. તેના પર એક બિંદુ $P$ શોધો જે તેને $3: 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે.

(N/A) $1.$ $AB = 7 \, cm$ લંબાઈનો એક રેખાખંડ દોરો.
$2.$ એક કિરણ $AX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે.
$3.$ $AX$ પર $3 + 5 = 8$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ થાય.
$4.$ $A_8B$ ને જોડો.
$5.$ $A_3$ માંથી,$A_3P \parallel A_8B$ દોરો જે $AB$ ને $P$ માં મળે (જેથી $A_3$ પર $\angle BA_8A$ જેટલો ખૂણો બને).
આમ,$P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $3: 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$AP: PB = 3: 5$ થાય.
સમર્થન:
ધારો કે $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ છે.
$\triangle ABA_8$ માં,આપણી પાસે $A_3P \parallel A_8B$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ થાય.
આમ,$AP: PB = 3: 5$ સાબિત થાય છે.