रेखा frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4} को समाह | vedclass

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Question

(C) माना अभीष्ट समतल का समीकरण $ax+by+cz=0$ है। चूँकि यह रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दि

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$x-2y+z=0$

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(C) माना अभीष्ट समतल का समीकरण $ax+by+cz=0$ है। चूँकि यह रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिशा सदिश $(2, 3, 4)$ के लंबवत है।अतः,$2a+3b+4c=0$ ............$(i)$अब,रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल पर विचार करें। इस समतल का अभिलंब सदिश $(a', b', c')$ दिशा सदिशों $(3, 4, 2)$ और $(4, 2, 3)$ का क्रॉस गुणनफल है:$(a', b', c') = (3, 4, 2) 	imes (4, 2, 3) = (12-4, 8-9, 6-16) = (8, -1, -10)$.चूँकि हमारा अभीष्ट समतल इस समतल के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दूसरे समतल के अभिलंब सदिश $(8, -1, -10)$ के लंबवत होना चाहिए।अतः,$8a-b-10c=0$ ............$(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:$\frac{a}{(3)(-10) - (4)(-1)} = \frac{b}{(4)(8) - (2)(-10)} = \frac{c}{(2)(-1) - (3)(8)}$$\frac{a}{-30+4} = \frac{b}{32+20} = \frac{c}{-2-24}$$\frac{a}{-26} = \frac{b}{52} = \frac{c}{-26}$$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अनुपात $a:b:c = 1:-2:1$ प्राप्त होता है।इन मानों को $ax+by+cz=0$ में रखने पर,हमें $x-2y+z=0$ प्राप्त होता है।

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