निश्चित समाकलन int_0^4 x[x] , dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^4 x[x] \, dx$. चूँकि $[x]$ एक स्टेप फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं: $I = \int_0^1 x[0] \, dx + \int_1^2

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$17$

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(A) माना $I = \int_0^4 x[x] \, dx$. चूँकि $[x]$ एक स्टेप फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं: $I = \int_0^1 x[0] \, dx + \int_1^2 x[1] \, dx + \int_2^3 x[2] \, dx + \int_3^4 x[3] \, dx$. $I = 0 + \int_1^2 x \, dx + \int_2^3 2x \, dx + \int_3^4 3x \, dx$. $I = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^3 + 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^4$. $I = \left( \frac{4-1}{2} \right) + (9-4) + \frac{3}{2}(16-9)$. $I = \frac{3}{2} + 5 + \frac{21}{2}$. $I = \frac{3+21}{2} + 5 = \frac{24}{2} + 5 = 12 + 5 = 17$.

निश्चित समाकलन $\int_0^4 x[x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है।

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$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{1 + a^2 \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए :

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\int_1^2 [x^2] dx =$

$9 \int_0^9 \left[ \sqrt{\frac{10x}{x+1}} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है।

सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$.

$\int_0^{\pi /2} {\sqrt {\cos \theta } {{\sin }^3}\theta } \,d\theta = $

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