નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચિત સંકલનની સરવાળાના લક્ષ તરીકેની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે:
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = (b - a) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(a + rh)$,જ્યાં $h = \frac{b-a}{n}$.
અહીં,$a = 0$,$b = 4$,અને $f(x) = x + e^{2x}$.
તેથી,$h = \frac{4-0}{n} = \frac{4}{n}$.
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(rh)$
$= 4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (rh + e^{2rh})$
$= 4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ h \sum_{r=0}^{n-1} r + \sum_{r=0}^{n-1} (e^{2h})^r \right]$
સૂત્રો $\sum_{r=0}^{n-1} r = \frac{(n-1)n}{2}$ અને સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા $\sum_{r=0}^{n-1} (e^{2h})^r = \frac{e^{2nh} - 1}{e^{2h} - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{4}{n} \cdot \frac{n(n-1)}{2} + \frac{e^{8} - 1}{e^{8/n} - 1} \right]$
$= 4 \lim_{n \to \infty} \left[ 2 \cdot \frac{n-1}{n} + \frac{e^{8} - 1}{n(e^{8/n} - 1)} \right]$
$= 4 \left[ 2(1) + \frac{e^{8} - 1}{8 \lim_{n \to \infty} \frac{e^{8/n} - 1}{8/n}} \right]$
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,તેથી:
$= 4 \left[ 2 + \frac{e^{8} - 1}{8(1)} \right] = 8 + \frac{e^{8} - 1}{2} = \frac{16 + e^{8} - 1}{2} = \frac{15 + e^{8}}{2}$.