lim _{n} {rightarrow infty}left[left(1+frac{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $A = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^{n} \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેત

Vedclass · Accepted Answer

$2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $A = \lim _{n ightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^{n} \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)ight]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log A = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)$.સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_0^1 f(x) dx$,આપણને મળે છે:$\log A = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા. તેથી $du = \frac{2x}{1+x^2} dx$ અને $v = x$.$\int_0^1 \log(1+x^2) dx = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.$= [1 \cdot \log(2) - 0] - 2 \int_0^1 \left(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}ight) dx$.$= \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}ight) dx$.$= \log 2 - 2 [x - 	an^{-1}(x)]_0^1$.$= \log 2 - 2 [(1 - 	an^{-1}(1)) - (0 - 0)]$.$= \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2} = \log 2 + \frac{\pi-4}{2}$.તેથી $A = e^{\log 2 + \frac{\pi-4}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} + \frac{1}{\sqrt{4n^2-4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4n^2-n^2}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

જો $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ હોય,તો $\log k=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module