$f(x) = x^{2}$ द्वारा दिए गए फलन के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
(N/A) $f(x) = x^{2}$
$\therefore f'(x) = 2x$
अब,क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2x = 0 \Rightarrow x = 0$
अतः,$x = 0$ एकमात्र क्रांतिक बिंदु है।
हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 2$।
चूँकि $f''(0) = 2 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x = 0$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
$x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = (0)^{2} = 0$ है।
इस फलन के लिए कोई स्थानीय उच्चतम मान नहीं है क्योंकि जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,$f(x) \to \infty$ होता है।
$\therefore f'(x) = 2x$
अब,क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2x = 0 \Rightarrow x = 0$
अतः,$x = 0$ एकमात्र क्रांतिक बिंदु है।
हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 2$।
चूँकि $f''(0) = 2 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x = 0$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
$x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = (0)^{2} = 0$ है।
इस फलन के लिए कोई स्थानीय उच्चतम मान नहीं है क्योंकि जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,$f(x) \to \infty$ होता है।
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$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।
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